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# 第一章：函数，极限，连续

# 知识点

# 函数

# 概念

  • 定义域：注意定义域指自变量范围
  • 函数复合：内层函数值域→\rightarrow 外层函数定义域

# 性态

# 有界性
# 判定有界
  • 定义
  • f(x)在[a,b]上连续,→f(x)在[a,b]上有界f(x)在[a,b]上连续, \rightarrow f(x)在[a,b]上有界
  • f(x)在(a,b)上有界,且f(a+)和f(b−)存在→f(x)在(a,b)有界f(x)在(a,b)上有界, 且f(a^+)和f(b^-)存在 \rightarrow f(x)在(a, b)有界
  • f′(x)在I(有界)内连续→f(x)在I上有界f'(x)在I(有界)内连续 \rightarrow f(x)在I上有界
# 单调性
# 判定单调
  • 定义
  • 导数 (前提是f(x)f(x) 在II 上可导)
# 常用结论
  • 若f′(x)>0,则存在δ>0若f'(x)>0, 则存在\delta>0
  • 当x∈(x0−δ,x0)时,f(x)<f(x0)当x\in(x_0-\delta, x_0)时, f(x)<f(x_0)
  • 当x∈(x0,x0+δ)时,f(x)>f(x0)当x\in(x_0, x_0+\delta)时, f(x)>f(x_0)
# 奇偶性
# 判定奇偶
  • 定义
  • 设f(x)f(x) 可导，则:
    f(x)奇↚→f′(x)偶f(x)奇\mathop{}_{\nleftarrow}^{\rightarrow} f'(x)偶
    f(x)偶←→f′(x)奇f(x)偶\mathop{}_{\leftarrow}^{\rightarrow} f'(x)奇
# 常用结论
  • 若f(x)奇,则∫0xf(x)为偶若f(x)奇, 则\int_{0}^{x}f(x)为偶
  • 若f(x)偶,则∫0xf(x)为奇若f(x)偶, 则\int_{0}^{x}f(x)为奇
# 周期性
# 判定周期
  • 定义
  • 可导周期函数的导数也为周期函数
  • 导数f(x)f(x) 有周期且∫0Tf(t)dt=0⇌原函数为周期函数\int_{0}^{T}f(t)dt = 0 \rightleftharpoons原函数为周期函数

# 极限

# 极限概念

  • 数列. lim⁡x→∞an=A,∀ε>0,∃N>0,当n>N时,∣an−A∣<ε\lim_{x \to \infty}a_n=A, \forall \varepsilon > 0, \exists N > 0, 当n > N时, |a_n - A| < \varepsilon
  • 函数. lim⁡x→∞f(x)=A,∀ε>0,∃X>0,当∣x∣>X时,∣f(x)−A∣<ε\lim_{x \to \infty}f(x) = A, \forall \varepsilon > 0, \exists X > 0, 当|x| > X时, |f(x) - A| < \varepsilon
    lim⁡x→x0f(x)=A,∀ε>0,∃δ>0,当0<∣x−x0∣<δ时,∣f(x)−A∣<ε\lim_{x \to x_0}f(x) = A, \forall \varepsilon > 0, \exist \delta > 0, 当0 < |x - x_0| < \delta时, |f(x) - A| < \varepsilon

# 极限性质

# 局部有界性
  • lim⁡x→x0存在,则x在x0去心邻域内有界\lim_{x \to x_0}存在, 则x在x_0去心邻域内有界
# 保号性
  • 设lim⁡x→x0f(x)=A设\lim_{x \to x_0}f(x) = A
    A>0↚→,x∈U˚(x0,δ),f(x)>0A>0 \mathop{}_{\nleftarrow}^{\rightarrow}, x \in \mathring{U}(x_0, \delta), f(x)>0
    x∈U˚(x0,δ)↚→A>=0x \in \mathring{U}(x_0, \delta)\mathop{}_{\nleftarrow}^{\rightarrow}A>=0
# 保序性
  • 设lim⁡x→x0f(x)=A,设lim⁡x→x0g(x)=B设\lim_{x \to x_0}f(x) = A, 设\lim_{x \to x_0}g(x) = B
    A>B,x∈U˚(x0,δ),↚→f(x)>g(x)A> B, x \in \mathring{U}(x_0, \delta),\mathop{}_{\nleftarrow}^{\rightarrow}f(x) > g(x)
    x∈U˚(x0,δ),f(x)≥g(x)↚→A≥Bx \in \mathring{U}(x_0, \delta), f(x) \ge g(x) \mathop{}_{\nleftarrow}^{\rightarrow}A \ge B
# 极限存在准则
  • 夹逼准则
  • 单调有界必有极限
# 无穷小
  • 概念
  • 比较
  • 阶数
  • 性质

    有限个无穷小的积仍是无穷小
    有界变量 × 无穷小量 = 无穷小量

# 连续

# 概念

  • 左连续: lim⁡x→x0−f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0)
  • 右连续: lim⁡x→x0+f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0)
  • f(x)连续⇄f(x)左连续,右连续f(x)连续\rightleftarrows f(x)左连续, 右连续

# 间断点及其分类

# 概念
  • 若f(x)在x0某去心邻域有定义,但在x0处不连续,则称x0为f(x)的间断点若f(x)在x_0某去心邻域有定义, 但在x_0处不连续, 则称x_0为f(x)的间断点
# 分类
# 第一类间断点
  • 可去间断点
  • 跳跃间断点
# 第二类间断点
  • 无穷间断点
  • 震荡间断点

# 连续函数的性质

# 有界性
  • 若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界若f(x)在[a,b]上连续, 则f(x)在[a,b]上有界
# 最值性
  • 若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值若f(x)在[a, b]上连续, 则f(x)在[a, b]上必有最大值和最小值
# 介值性
  • 若f(x)在[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),则对f(a)与f(b)之间任一数C,至少存在一个ξ∈(a,b),使得f(ξ)=C若f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) \neq f(b), 则对f(a)与f(b)之间任一数C, 至少存在一个\xi \in (a, b), 使得f(\xi)=C
# 零点定理
  • 若f(x)在[a,b]上连续,且f(a)∗f(b)<0,则必∃ξ(a,b),使f(ξ)=0若f(x)在[a,b]上连续, 且f(a)*f(b)<0, 则必\exist\xi(a,b), 使f(\xi)=0

# 考点

# 函数

# 复合函数

# 函数性态

# 极限

# 极限存在准则

# 求极限

# 常用方法
  • 极限有理运算
  • 基本极限
  • 等价无穷小
  • 洛必达
  • 泰勒公式
  • 夹逼原理
  • 定积分定义
  • 单调有界
# 题型
# 函数题型
  • 00型\frac{0}{0}型

    洛必达，等价无穷小替换，泰勒

  • ∞∞型\frac{\infty}{\infty}型

    洛必达，分子分母同除最高阶无穷大 (抓大头书面做法)

  • ∞−∞型\infty - \infty型

    通分化00型,根式有理化,提无穷银子后等价代换或泰勒\frac{0}{0}型, 根式有理化, 提无穷银子后等价代换或泰勒

  • 0∗∞型0*\infty型

    化00型或∞∞型\frac{0}{0}型或\frac{\infty}{\infty}型

  • 1∞型1^\infty型

    凑(1+x)1x/(1+1x)x(1+x)^\frac{1}{x}/(1+\frac{1}{x})^x, 三部曲

  • ∞0型,00型\infty^0型, 0^0型

    幂指改指数，化0∗∞0*\infty

# 数列题型
  • 不定式

    不能直接使用函数方法，需要改写为函数极限

  • n 项和的数列极限

    夹逼原理，定积分定义，二者组合

  • n 项连乘的数列极限

    夹逼原理，取对数化 n 项和

  • 递推关系，x1=a,xn+1=f(x).(n=1,2,…)x_1 = a, x_{n+1}=f(x). (n = 1,2,\dots) 定义的数列

    单调有界，先斩后奏

# 确定极限式中的参数

# 无穷小量阶的比较

  • 洛必达法则
  • 等价无穷小替换
  • 泰勒公式

# 连续

# 讨论连续性及间断点的类型

# 介值定理，最值定理及零点定理的证明题

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